单选题

1、当x→0时，5x-sin5x是x的（）。  

• A：高阶无穷小量
• B：等价无穷小量
• C：同阶无穷小量，但不是等价无穷小量
• D：低阶无穷小量

答 案：A

解 析：，故5x-sin5x是x的高阶无穷小量.

2、在区间[－2，2]上，下列函数中不满足罗尔定理条件的是（）。

• A：
• B：
• C：
• D：1n（1＋x²）

答 案：B

解 析：A、C、D选项三个函数都是初等函数，且在[－2，2]上有定义，因此在区间[－2，2]上连续，且在区间两端点处函数值相等，又A选项的导函数为－2cosxsinx，C选项的导函数为，D选项的导函数为，都在（－2，2）内有意义，所以A、C、D选项在（－2，2）内都可导，故它们都满足罗尔定理条件；而B选项，故则f（x）＝在x＝0连续，而，所以f（x）＝在x＝0处不可导，故f（x）＝在（－2，2）内不可导，从而不满足罗尔定理使用条件。

3、用待定系数法求方程y''－y＝xe^x的特解时，特解应设为（）。

• A：y＝Ae^-x＋Be^x
• B：y＝（Ax＋B）xe^x
• C：y＝（Ax＋B）e^x
• D：y＝（A＋B）xe^x

答 案：B

解 析：因为该微分方程的特征方程为，显然该特征方程的根为，故特解应设为。

主观题

1、计算

答 案：解：利用洛必达法则，得

2、求微分方程的通解．

答 案：解：原方程对应的齐次微分方程为特征方程为特征根为x₁＝-1，x₂＝3，
齐次方程的通解为
设原方程的特解为＝A，代入原方程可得＝-1。
所以原方程的通解为（C₁，C₂为任意常数）

3、设f(x)是以T为周期的连续函数，a为任意常数，证明：。

答 案：证：因为令x＝T＋t，做变量替换得故

填空题

1、过点M₀（1，－2，0）且与直线垂直的平面方程为（）。

答 案：3（x－1）－（y＋2）＋x＝0（或3x－y＋z＝5）

解 析：因为直线的方向向量s＝（3，－1，1），且平面与直线垂直，所以平面的法向量，由点法式方程有平面方程为：3（x－1）－（y＋2）＋（z－0）＝0，即3（x－1）－（y＋2）＋z＝0。

2、微分方程的通解为（）。

答 案：

解 析：方程可化为：，是变量可分离的方程，对两边积分即可得通解。。

3、微分方程的通解是（）。

答 案：y＝

解 析：该方程是一阶线性方程，其中由通解公式，有因为所以

简答题

1、求微分方程的通解.  

答 案：令y’=p，则y”=p’原方程可化为分离变量得两边积分得
则即
再次分离变量并积分得y=