2024年成考专升本《高等数学二》每日一练试题04月25日

<p class="introTit">判断题</p><p>1、若<img src="https://img2.meite.com/questions/202307/1364af5780970e6.png" />，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202307/1364af578624075.png" />。（）  </p><p>答 案：错</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/06638ef8852e1bd.png" />所以<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/06638ef88b66bc1.png" />  </p><p class="introTit">单选题</p><p>1、函数f(x)＝1－x³在区间（－∞，＋∞）（）.</p><ul><li>A：单调增加</li><li>B：单调减少</li><li>C：先单调增加，后单调减少</li><li>D：先单调减少，后单调增加</li></ul><p>答 案：B</p><p>解 析：对任意的x≠0，有<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/03638b09b45bb1b.png" />，仅当x＝0时，f(x)的一阶导数为0，故函数在（－∞，＋∞）上单调减少.</p><p>2、曲线<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/06638f01bf70c68.png" />的拐点坐标为（）.</p><ul><li>A：（a，0）</li><li>B：（a，－b）</li><li>C：（a，b）</li><li>D：（b，a）</li></ul><p>答 案：D</p><p>解 析：函数的定义域为（-∞，＋∞）.<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/06638f0206a6d05.png" />，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/06638f02150abcb.png" />.当x＝b，y＝a时，y''不存在，因为f(x)在x＝b连续，且当x＜b时，y''＜0，曲线y为凸；当x＞b时，y''＞0，曲线y为凹，故曲线的拐点为（b，a）.</p><p class="introTit">主观题</p><p>1、一批零件中有10个合格品和2个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果每次取出废品后不再放回，用X表示在取得合格品以前已取出的废品数，求：（1）随机变量X的分布列；<br />（2）随机变量X的分布函数．</p><p>答 案：解：（1）由题意知，随机变量X的可能值是0，1，2，且有<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/086391802ac129e.png" />随机变量x的分布列为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/086391803d082fa.png" />（2）随机变量X的分布函数为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/086391804fd2237.png" /></p><p>2、求由曲线y＝e^x，y＝e^-x及x＝1所围成的平面图形的面积以及此平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积V_x．</p><p>答 案：解：其平面图形如图所示<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0763903fb613010.png" />，则平面图形面积<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0763903fc11bcc5.png" />旋转体的体积为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0763903fd18d99b.png" /></p><p class="introTit">填空题</p><p>1、<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0863914040da2e2.png" />（）</p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/08639140519a78c.png" /></p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/08639140602075c.png" /></p><p>2、设<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/08639140fa66585.png" />，则dz＝（）</p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/086391410567473.png" /></p><p>解 析：方法一：把u，v代入<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/08639141151f9d2.png" />中，有<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0863914123c0ef7.png" />故<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/086391413882ded.png" />方法二：按复合求导法则求导，再代入全微分公式中，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0863914156ce633.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202212/086391416b1686a.png" />。<br />所以<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0863914179bf06a.png" /><br />方法三：利用一阶微分形式的不变性<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/086391418c5fdb7.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202212/086391419e85ba9.png" /></p><p class="introTit">简答题</p><p>1、已知函数f(x)=ax³-bx²+cx在区间<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/07639002a0c63f6.png" />内是奇函数，且当x＝1时，f(x)有极小值<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/07639002ba72fe4.png" />，求另一个极值及此曲线的拐点．  </p><p>答 案：f(x)=ax³-bx²+cx，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/07639002da708ed.png" /> 由于f(x)是奇函数，则必有x²的系数为0，即b=0. <img src="https://img2.meite.com/questions/202212/07639003148fbf6.png" />即a+c=<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/076390032089cb2.png" />，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0763900324b36b3.png" />得3a+c=0．解得a=<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/076390033fe0499.png" />c=<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0763900347cfddd.png" /> 此时<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/07639003591bd3b.png" /> 令<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0763900361d0796.png" />得<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/07639003674342f.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202212/076390036dd8f49.png" />所以<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/076390037794ea3.png" />为极大值，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/07639003826209a.png" />得x=0，x<0时，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0763900396d70f8.png" /> 所以（0，0）为曲线的拐点．</p><p>2、已知曲线<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/216419246048f3b.png" />在点(1,2)处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，求a,b,c的值，并写出此曲线的方程。  </p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/2164192515baa08.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202303/2164192520cbb96.png" /> 由已知条件得： <img src="https://img2.meite.com/questions/202303/2164192541ec9d6.png" /> 故b=0,a=-1，c=3，次曲线的方程为<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/21641925650ce9b.png" />  </p>