2024年成考专升本《高等数学一》每日一练试题03月28日

<p class="introTit">单选题</p><p>1、设y＝2-cosx，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/166374931d2e1b2.png" />＝（）。</p><ul><li>A：1</li><li>B：0</li><li>C：-1</li><li>D：-2</li></ul><p>答 案：B</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/166374932e080c1.png" />。</p><p>2、曲线y＝x²＋5x＋4在点（－1，0）处切线的斜率为（）。</p><ul><li>A：2</li><li>B：－2</li><li>C：3</li><li>D：－3</li></ul><p>答 案：C</p><p>解 析：点（－1，0）在曲线y＝x²＋5x＋4上，y'＝2x＋5，<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/296385c5441b029.png" />，由导数的几何意义可知，曲线y＝x²＋5x＋4在点（－1，0）处切线的斜率为3。</p><p>3、用待定系数法求方程y''－y＝xe^x的特解时，特解应设为（）。</p><ul><li>A：y＝Ae^-x＋Be^x</li><li>B：y＝（Ax＋B）xe^x</li><li>C：y＝（Ax＋B）e^x</li><li>D：y＝（A＋B）xe^x</li></ul><p>答 案：B</p><p>解 析：因为该微分方程的特征方程为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/016388695614e7e.png" />，显然该特征方程的根为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/016388696a429b5.png" />，故特解应设为<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163886981ae172.png" />。</p><p class="introTit">主观题</p><p>1、将函数<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375acbfe6f24.png" />展开成x的幂级数，并指出其收敛区间</p><p>答 案：解：因为<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375acd243164.png" />所以<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375ace684eb8.png" />其中5x∈（-1，1），得收敛区间<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375ad137c097.png" /></p><p>2、计算<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375ad1f5c23d.png" />，其中D为x²＋y²＝1，y＝x及y＝0和第一象限所围成的图形.</p><p>答 案：解：在极坐标系中，D可表示为<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375ad400c926.png" />则<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/176375ad529bf80.png" /></p><p>3、求曲线y＝x²在点（a，a²）（a＜1）的一条切线，使由该切线与x＝0、x＝1和y＝x²所围图形的面积最小。</p><p>答 案：解：设所求切线的切点为（a，b），见下图，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814257361c.png" />则b＝a²，<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/016388143d3fc16.png" />，切线方程为y－b＝2a（x－a），y＝2ax－2a²＋b＝2ax－a²。设对应图形面积为A，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814689e85a.png" /><br />令<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163881476e033e.png" />，则<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814851e37c.png" />，令<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163881492513cb.png" />。当a＜<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814a227100.png" />时，f'(a)＜0；当a＞<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638814a227100.png" />时，f'(a)＞0，故<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/0163881536b8640.png" />为f(a)的最小值点，切线方程为：y＝x－<img src="https://img2.meite.com/questions/202212/01638815675a0c3.png" />。</p><p class="introTit">填空题</p><p>1、设函数x=3x+y²,则dz=（）。</p><p>答 案：3dx+2ydy</p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202109/166142b469d1015.png" /></p><p>2、设<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/306386b23bb2946.png" />则y''＝（）。</p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/306386b24d5ce88.png" /></p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202211/306386b2615b5e4.png" /><img src="https://img2.meite.com/questions/202211/306386b367aad23.png" /></p><p>3、设<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/0364019ee6a682b.png" />则dy=（）  </p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401acd8502f2.png" /></p><p>解 析：<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401ace51fcbf.png" />故有<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401acfb369a6.png" /></p><p class="introTit">简答题</p><p>1、求微分方程<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401a0b4bb252.png" />满足初值条件<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401a0c888c77.png" />的特解  </p><p>答 案：<img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401afc1cb58a.png" /> <img src="https://img2.meite.com/questions/202303/036401afd313124.png" />  </p>