单选题

1、幂级数（式中a为正常数）（）。

• A：绝对收敛
• B：条件收敛
• C：发散
• D：收敛性与a有关

答 案：A

解 析：是p＝2的p级数，从而知其收敛，可知收敛，故绝对收敛。

2、下列函数中在点x₀＝0处可导的是（）。

• A：
• B：|x|
• C：
• D：|x|²

答 案：D

解 析：AC两项，在x₀＝0处无定义不可导；B项，在x₀＝0处有所以该函数在x₀＝0处不可导；D项，，显然在x₀＝0处可导。

3、在空间直角坐标系中，方程x²＋z²＝z的图形是（）。

• A：圆柱面
• B：圆
• C：抛物线
• D：旋转抛物面

答 案：A

解 析：方程x²＋z²＝z可变形为，由此知该方程表示的是准线为圆、母线平行于y轴的圆柱面。

主观题

1、求函数的极大值与极小值。

答 案：解：令f′(x)＝0，解得x₁＝－1；x₂＝1又f″(x)＝6x,可知f″(-1)＝－６＜0，f″(1)＝6＞0
故x＝－1为f（x）的极大值点，极大值为7
x＝1为f（x）的极小值点，极小值为3。

2、在曲线上求一点M₀，使得如图中阴影部分的面积S₁与S₂之和S最小。

答 案：解：设点M₀的横坐标为x₀，则有则S为x₀的函数，将上式对x₀求导得令S'=0,得，所以由于只有唯一的驻点，所以则点M₀的坐标为为所求。

3、求函数y＝xe^x的极小值点与极小值

答 案：解：方法一：令y'＝0，得x＝-1。
当x＜-1时，y'＜0；当x＞-1时,y'＞0。
故极小值点为x＝-1，极小值为。
方法二：，
令y'＝0，得x＝-1，又，。
故极小值点为x＝-1，极小值为。

填空题

1、过点M₀（1，－2，0）且与直线垂直的平面方程为（）。

答 案：3（x－1）－（y＋2）＋x＝0（或3x－y＋z＝5）

解 析：因为直线的方向向量s＝（3，－1，1），且平面与直线垂直，所以平面的法向量，由点法式方程有平面方程为：3（x－1）－（y＋2）＋（z－0）＝0，即3（x－1）－（y＋2）＋z＝0。

2、微分方程y''＝x的通解是（）。

答 案：

解 析：等式两边同时积分得，重复上一步骤得

3、

答 案：

解 析：

简答题

1、给定曲线与直线y=px-q（其中p>0），求p与q为关系时，直线y=px-q的切线。

答 案：由题意知，再切点处有两边对x求导得